Quadratwurzel
. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise 
. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. 
ist gleichwertig zu .
Beispiel: Wegen 
gilt 
.
Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:
- Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl
keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2). - Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen
auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.
anstelle von 
.Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.
Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
Definition: Die Quadratwurzel einer nicht-negativen reellen Zahl x 
gleich x
Das oben erwähnte Problem, dass nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für 
nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.
Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:
- Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
- Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.
):Aus
und 
folgt, dass zwischen 1 und 2 liegen muss.Daher probiert man
, 
usw. durch.Aus
und 
erkennt man, dass zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:
- Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.
- Die Taylorreihen-Entwicklung von mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für
punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.
Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen
Für eine komplexe Zahl z 
zu erzwingen. Man kann also für 
nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl z
Ist z
Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Bei der Lösung mit n = 0
Beispiel (Quadratwurzeln aus 
):
Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt.
(2. Quadrant!)
Quadratwurzeln modulo n
Auch im Restklassenring Z/nZ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heisst q eine Quadratwurzel von x, wenn gilt:
Um die Quadratwurzeln von x modulo n zu bestimmen, geht man folgendermassen vor:
Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von n:
Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p
Für Primzahlen p ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu x so:
Um zu testen, ob x überhaupt eine Quadratwurzel in Z/pZ hat, verwendet man das Legendre-Symbol
Berechnung für den Fall p = 3 mod 4
Ist das Legendre-Symbol (x'\' | p'') = 1, dann sind
Berechnung für den Fall p = 1 mod 4
Ist das Legendre-Symbol 
, dann sind
ist rekursiv definiert:
Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von x
und 
ergeben sich zu
Verallgemeinerung
Die Quadratwurzel ist ein Spezialfall der allgemeinen Wurzel. Eine über dem Wurzelzeichen stehende natürliche Zahl bezeichnet den Wurzelexponenten. Beispielsweise bedeutet im reellen Fall 
diejenige nicht-negative Zahl, deren 5. Potenz gleich x
Siehe auch
Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Wurzel (Mathematik), Modulo, Restklassenring, Wurzel aus 2
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